Calcular f ' ( x ) para a função f ( x ) que se indica

f (x) = (1)/(1 + sqrt(x)) , x > 0

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Neste problema vamos partir do seguinte teorema. Sejam f e g duas funções definidas num mesmo intervalo. Em cada ponto em que f e g admitem derivadas, também admitem derivadas o quociente f // g . E a derivada desta função é definida pela fórmula:

( (f)/(g) ) ' = (g * f ' - f * g ')/(g ²)

Passo 2

Então partindo desta ideia, podemos resolver o problema!!!

f (x) = (1)/(1 + sqrt(x))

f ' (x) = ((1 + sqrt(x)) * ( 1 ) ' - (1) * (1 + sqrt(x)) ')/((1 + sqrt(x))^2)

= (- (1) * (1 + (1)/(2) x^(- (1)/(2))))/((1 + sqrt(x))^2)

= (- 1 - (1)/(2) x^(- (1)/(2)))/((1 + sqrt(x))^2)

Podemos organizar melhor nosso resultado né?! Passando o - (1)/(2) x^(- (1)/(2)) para o denominador, e como está com sinal negativo passa a ser positivo!

= (- 1)/(2 sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2)

Prontinho!! Até a próxima 😊

Resposta

= (- 1)/(2 sqrt(x) ( 1 + sqrt(x) ) ²)