Calcular f'(x) para a função f(x) que se indica

f(x) = x / (1 + raiz(x)) x > 0

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Então nos encontramos novamente, neste problema vamos partir do seguinte teorema. Sejam f e g duas funções definidas num mesmo intervalo. Em cada ponto em que f e g admitem derivadas, também admitem derivadas o quociente f / g . E a derivada desta função é definida pela fórmula:

((f)/(g))^' = ((g * f^') - (f * g^'))/(g^2)

Então a partir dessa regra podemos resolver sim?!

Passo 2

Seja nossa incógnita

f (x) = (x)/(1 + sqrt(x)) , x > 0

Aplicando a regra do quociente

f (x) = ((1 + sqrt(x)) * (x)^' - (x) * ( 1 + sqrt(x) ) ')/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

f ' (x) = ((1 + x^((1)/(2))) * (1) - (x) * ( 0 + x^(- (1)/(2)))/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

= (1 + x^((1)/(2)) - x * (1)/(2) x^(- (1)/(2)))/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

Agora vamos tentar simplificar o máximo que podemos e organizar mais a resposta da nossa questão.

Passo 3

= (1 + x^((1)/(2)) - x * (1)/(2) x^(- (1)/(2)))/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

= (1 + x^((1)/(2)) - (1)/(2) * x^(- (1)/(2)) * x)/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

= (1 + x^((1)/(2)) - (1)/(2) x^(- (1)/(2)))/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

= ((2 + 2 x^((1)/(2)) - x^(- (1)/(2)))/(2))/(( 1 + sqrt(x) ) ²)

= (2 + √ x)/(2) * (1)/((1 + sqrt(x))^2) = (2 + √ x)/(2 ( 1 + sqrt(x) ) ²)

Ufa!! Estava achando que não acabaria né?! Rs, mas temos então nossa resposta! Até a próxima !!

Resposta

= (2 + √ x)/(2 ( 1 + sqrt(x) ) ²)