Calcular f'(x) para a função f(x) que se indica

f(x) = raiz(x) / (1 + x) x > 0

Passo 1

Faaala maninho(a)!! Então nos encontramos novamente, neste problema vamos partir do seguinte teorema. Sejam f e g duas funções definidas num mesmo intervalo. Em cada ponto em que f e g admitem derivadas, também admitem derivadas o quociente f / g . E a derivada desta função é definida pela fórmula:

((f)/(g)) '^() = ((g * f^') - (f * g^'))/(g^2)

Então a partir dessa regra podemos resolver sim?!

Passo 2

Seja nossa incógnita

f (x) = (√ x)/(1 + x) x > 0

Aplicando a regra do quociente

f ' ( x ) = ((x^((1)/(2))) ' *^() (1 + x) - (x^((1)/(2))) * ( 1 + x ) ')/(( 1 + x ) ²)

= ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) * ( 1 + x ) - (x^((1)/(2))) * ( 1 ))/(( 1 + x ) ²)

= ((1)/(2 √ x) * ( 1 + x ) - √ x)/(( 1 + x ) ²)

Vamos simplificar o denominador e reduzir a nossa equação

Passo 3

= ((1)/(2 √ x) * ( 1 + x ) - √ x)/(( 1 + x ) ²)

= ((1 - x)/(2 √ x))/(( 1 + x ) ²) = (1 - x)/(2 √ x) * (1)/(( 1 + x ) ²)

= (1 - x)/(2 √ x ( 1 + x ) ²)

Prontinho! Temos a nossa resposta, até a próxima 😊

Resposta

= (1 - x)/(2 √ x ( 1 + x ) ²)