Calcular o gradiente no campo escalar dado:

f(x, y, z) = xy + xz + yz

Passo 1

Vamos lá! A questão nos pede apenas o gradiente da função e nós sabemos que o gradiente pode ser calculado por meio das derivadas parciais da função, dessa forma:

g r a d f = (del f)/(del x) vec i + (del f)/(del y) vec j + (del f)/(del z) vec k

Perceba que é a derivada da função total, primeiro em relação a x , depois em relação a y e em relação a z . Vamos calcular uma por uma.

Passo 2

Para f (x , y , z) = x y + x z + y z ,

(del f)/(del x) = y + z + 0 = y + z

(del f)/(del y) = x + 0 + z = x + z

(del f)/(del z) = 0 + x + y = x + y

Portanto, o gradiente de f é:

g r a d f = ( y + z ) vec i + ( x + z ) vec j + ( x + y ) vec k

Resposta

g r a d f = ( y + z ) vec i + ( x + z ) vec j + ( x + y ) vec k