Calcular os integrais:

5) int_(- 2)^x t^2 (t^2 + 1) ⅆ t

Passo 1

Antes de fazer o cálculo da integral definida, faremos o cálculo da integral indefinida:

int t^2 (t^2 + 1) ⅆ t

Usando a propriedade distributiva, da multiplicação, multiplicaremos cada termo dentro dos parênteses por: t2

int t^4 + t^2 d t

Usando a propriedade do integral:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

int t^4 ⅆ t + int t^2 ⅆ t

Passo 2

Agora, que passamos para o segundo passo, devemos calcular cada integral que compõe a expressão separadamente, e depois as unir.

Então, começamos pela primeira: int t^4 ⅆ t

Devemos usar a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

E teremos: (t^5)/(5)

Agora, partimos para a segunda: int t^2 ⅆ t

Devemos usar a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

E teremos: (t^3)/(3)

Unindo, temos: (t^5)/(5) + (t^3)/(3)

Passo 3

Pra concluir, finalmente, essa resolução, devemos calcular a integral definida, colocando os limites de integração na expressão acima:

(((t^5)/(5) + (t^3)/(3))|_(- 2)^x

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

(x^5)/(5) + (x^3)/(3) - (((- 2)^5)/(5) + ((- 2)^3)/(3))

(x^5)/(5) + (x^3)/(3) + (136)/(15)

Resposta

O resultado dessa integral, é:

(x^5)/(5) + (x^3)/(3) + (136)/(15)