Calcular os integrais:

6) int_x^(x^2) (t^2 + 1)^2 ⅆ t

Passo 1

Antes de fazer o cálculo da integral definida, faremos o cálculo da integral indefinida:

int (t^2 + 1) ^2 ⅆ t

Usando: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 devemos desenvolver a expressão:

int t^4 + 2 t^2 + 1 d t

Usando a propriedade do integral:

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

int t^4 ⅆ t + int 2 t^2 ⅆ t + int 1 ⅆ t

Passo 2

Agora, que passamos para o segundo passo, devemos calcular cada integral que compõe a expressão separadamente, e depois as unir.

Então, começamos pela primeira: int t^4 ⅆ t

Devemos usar a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

E teremos: (t^5)/(5)

Agora, partimos para a segunda: int 2 t^2 ⅆ t

Devemos usar a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

E teremos: (2 t^3)/(3)

Partindo para a última integral: int 1 ⅆ t

Temos que relembrar a seguinte propriedade dos integrais: int 1 ⅆ x = x

Logo, temos que o resultado dessa última é: t.

Unindo-as: (t^5)/(5) + (2 t^3)/(3) + t

Passo 3

Pra concluir, finalmente, essa resolução, devemos calcular a integral definida, colocando os limites de integração na expressão acima:

(((t^5)/(5) + (2 t^3)/(3) + t)|_x^(x^2)

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

((x^2)^5)/(5) + (2 (x^2)^3)/(3) + x^2 - ((x^5)/(5) + (2 x^3)/(3) + x)

(x^(10) - x^5)/(5) + (2 x^6 - 2 x^3)/(3) + x^2 - x

Resposta

O resultado dessa integral, é, portanto:

(x^(10) - x^5)/(5) + (2 x^6 - 2 x^3)/(3) + x^2 - x

Agora que essa já foi, bora embarcar em mais uma?!