Calcular a integral curvilínea

∫ C 2 x - y + z d s

Onde C é o segmento de reta que liga A ( 1 ,   2 ,   3 ) a B ( 2 ,   0 ,   1 ) .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y , z = 2 x - y + z

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

Aqui a questão nos deu um segmento de reta e nós sabemos que podemos parametrizar qualquer reta sabendo seu vetor direção e um ponto pertencente a ela. Assim, podemos usar a fórmula:

r → t = 1 - t r 0 + t ( r 1 )

Onde r 0 e r 1 são os pontos dados, r 0 = A ( 1 ,   2 ,   3 ) a r 1 = B ( 2 ,   0 ,   1 ) . Então

r → t = 1 - t 1 ,   2 ,   3 + t ( 2 ,   0 ,   1 )

r → t = 1 - t ,   2 - 2 t ,   3 - 3 t + 2 t ,   0 ,   t

r → t = ( 1 + t ,   2 - 2 t ,   3 - 2 t )

Encontramos a nossa parametrização:

x = 1 + t y = 2 - 2 t z = 3 - 2 t

Daqui podemos extrair o nosso intervalo de integração. Vamos usar o valor de x para descobrir como t varia:

x = 1 + t   →     t = x - 1

No ponto A quando x = 1 → t = 0 (usando a equação acima) e no ponto B quando x = 2 → t = 1 . Então, temos

0 ≤ t ≤ 1

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 1 + t y = 2 - 2 t z = 3 - 2 t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

σ → ' t = 1 2 + - 2 2 + - 2 2

                        = 1 + 4 + 4 = 9 = 3

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t , y t ,   z t = 2 1 + t - 2 - 2 t + 3 - 2 t

f x t , y t ,   z t = 2 t + 3

Assim,

∫ 0 1 2 t + 3 3 d t

= 3 2 t 2 2 + 3 t 0 1

= 3 t 2 + 9 t 0 1 = 3 + 9 - 0 = 12

Resposta

12