Calcular a integral curvilínea
Onde é a curva dada por de a .
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Aqui nós precisamos nos lembrar que a função modular pode ser definida dessa forma:
Vamos usar isso daqui a pouco. Agora, para encontrar o vamos parametrizar a curva.
Passo 2
Aqui a questão nos deu uma curva . Podemos dizer que e então nós teremos:
Beleza, encontramos a nossa parametrização:
A questão também nos deu os pontos e . Perceba que aqui varia em , como , então temos
Agora vamos calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Lembra que a função modular se comportar de maneira diferente dependendo do intervalo que a gente tá considerando. Então,
Agora vamos juntar tudo e dividir a nossa integral em dois intervalos. Assim,
Resolvendo, vamos chamar
Substituindo,
Voltando à variável :
Substituindo os intervalos:
Somando,
Podemos simplificar esse resultado, assim