Calcular a integral curvilínea

∫ C | y | d s

Onde C é a curva dada por y = x 3 de ( - 1 , - 1   ) a ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y d s = ∫ t o t 1 f x t , y t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y = | y |

Aqui nós precisamos nos lembrar que a função modular pode ser definida dessa forma:

y = y ,       y ≥ 0 - y ,       y < 0

Vamos usar isso daqui a pouco. Agora, para encontrar o d s vamos parametrizar a curva.

Passo 2

Aqui a questão nos deu uma curva y = x 3 . Podemos dizer que x = t e então nós teremos:

y = t 3

Beleza, encontramos a nossa parametrização:

x = t y = t 3

A questão também nos deu os pontos ( - 1 ,   - 1 ) e ( 1 ,   1 ) . Perceba que aqui x varia em [ - 1 ,   1 ] , como x = t , então temos

- 1 ≤ t ≤ 1

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = t y = t 3

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2

σ → ' t = 1 2 + 3 t 2 2

                        = 1 + 9 t 4

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t , y t = | t 3 |

Lembra que a função modular se comportar de maneira diferente dependendo do intervalo que a gente tá considerando. Então,

t 3 = t 3 ,       t ≥ 0 - t 3 ,       t < 0

Agora vamos juntar tudo e dividir a nossa integral em dois intervalos. Assim,

∫ - 1 0 - t 3 1 + 9 t 4   d t + ∫ 0 1 t 3 1 + 9 t 4 d t

Resolvendo, vamos chamar u = 1 + 9 t 4

d u = 36 t 3 d t     →       d t = d u 36 t 3

Substituindo,

∫ - 1 0 - t 3 u d u 36 t 3 + ∫ 0 1 t 3 u d u 36 t 3

- 1 36 ∫ - 1 0 u d u + 1 36 ∫ 0 1 t 3 u d u

= - 1 36 2 3 u 3 2 - 1 0 + 1 36 2 3 u 3 2 0 1

Voltando à variável t :

= - 1 36 2 3 1 + 9 t 4 3 2 - 1 0 + 1 36 2 3 1 + 9 t 4 3 2 0 1

Substituindo os intervalos:

- 2 108 1 + 9 0 4 3 2 - 1 + 9 - 1 4 3 2 + 2 108 1 + 9 1 4 3 2 - 1 + 9 0 4 3 2

= - 1 54 + 1 54 10 3 + 1 54 10 3 - 1 54

Somando,

= - 2 54 + 2 10 3 54

Podemos simplificar esse resultado, assim

- 1 27 + 10 10 27

Resposta

- 1 27 + 10 10 27