Calcular a integral curvilínea
Onde é a interseção da esfera com o plano .
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Para encontrar o precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!
Passo 2
A questão nos deu uma esfera e nos disse que , então para parametrizar essa curva vamos substituir isso na equação da esfera:
Que é uma circunferência centrada na origem de raio igual 2. E nós sabemos que na parametrização de uma circunferência podemos dizer que
Então encontramos a nossa parametrização:
Onde varia de a :
Agora vamos calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Juntando tudo, nossa integral fica
Vamos chamar para resolver a integral:
Substituindo:
Olha só como tudo aqui se transformou numa integral simples. Resolvendo, temos
Voltando a variável ,