Calcular a integral curvilínea

∫ C x z d s

Onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com o plano x = y .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , z = x z

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

A questão nos deu uma esfera e nos disse que x = y , então para parametrizar essa curva vamos substituir isso na equação da esfera:

x 2 + x 2 + z 2 = 4

2 x 2 + z 2 = 4

Que é uma circunferência centrada na origem de raio igual 2. E nós sabemos que na parametrização de uma circunferência podemos dizer que

y = cos ⁡ t

z = sin ⁡ t

Então encontramos a nossa parametrização:

x = y y = cos ⁡ t z = sin ⁡ t

Onde t varia de 0 a 2 π :

0 ≤ t ≤ 2

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

y = cos ⁡ t z = sin ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d y d t 2 + d z d t 2

σ → ' t = - sin ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2

σ → ' t = 1

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f y t ,   z t = cos ⁡ t sin ⁡ t

Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 2 π cos ⁡ t sin ⁡ t ∙ 1   d t

Vamos chamar u = sin ⁡ t para resolver a integral:

d u = cos ⁡ t   d t       →         d t = d u cos ⁡ t

Substituindo:

∫ 0 2 π u cos ⁡ t d u cos ⁡ t  

∫ 0 2 π u   d u

Olha só como tudo aqui se transformou numa integral simples. Resolvendo, temos

u 2 2 0 2 π

Voltando a variável t ,

sin ⁡ t 2 2 0 2 π

= ( sin ⁡ 2 π ) 2 2 - sin ⁡ 0 2 2 = 0

Resposta

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