Calcular a integral curvilínea
Onde é o arco da parábola , de a .
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Para encontrar o precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!
Passo 2
Aqui a questão nos deu um arco de parábola . Para parametrizar essa curva vamos chamar e então nós teremos:
Molezinha né? A questão já nos disse que , então encontramos a nossa parametrização:
A questão também nos deu os pontos a . Perceba que aqui varia em , como , então temos
Agora vamos calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Juntando tudo, nossa integral fica
Aplicando a distributiva (multiplicando termo a termo):
Observe que o saiu da raiz, então é só subtrair e colocar a outra raiz em evidência:
Passo 5
Para resolver a integral vamos chamar :
Aqui , quando e quando . Substituindo tudo,
Resolvendo,
Substituindo os limites de integração: