Calcular a integral curvilínea

∫ C 3 y - z d s

Onde C é o arco da parábola z = y 2 , x = 1 de A ( 1 ,   0 ,   0 ) a B ( 1 ,   2 ,   4 ) .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y , z = 3 y - z

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

Aqui a questão nos deu um arco de parábola z = y 2 . Para parametrizar essa curva vamos chamar y = t e então nós teremos:

z = t 2

Molezinha né? A questão já nos disse que x = 1 , então encontramos a nossa parametrização:

x = 1 y = t z = t 2

A questão também nos deu os pontos A ( 1 ,   0 ,   0 ) a B ( 1 ,   2 ,   4 ) . Perceba que aqui y varia em [ 0 ,   2 ] , como y = t , então temos

0 ≤ t ≤ 2

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 1 y = t z = t 2

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

σ → ' t = 0 2 + 1 2 + 2 t 2

                        = 0 + 1 + 4 t 2 = ( 1 + 4 t 2 )

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t , y t ,   z t = 3 t - t 2

Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 2 3 t - t 2 ∙ ( 1 + 4 t 2 ) d t

Aplicando a distributiva (multiplicando termo a termo):

∫ 0 2 3 t ( 1 + 4 t 2 ) - t 2 ( 1 + 4 t 2 ) d t

∫ 0 2 3 t ( 1 + 4 t 2 ) - t ( 1 + 4 t 2 ) d t

Observe que o t saiu da raiz, então é só subtrair e colocar a outra raiz em evidência:

∫ 0 2 2 t t 2 ( 1 + 4 t 2 ) d t

Passo 5

Para resolver a integral vamos chamar u = 1 + 4 t 2 :

d u = 8 t   d t         →         d u 8 = t   d t

Aqui u = 1 + 4 t 2 , quando t = 0 → u = 1 e quando t = 2   → u = 17 . Substituindo tudo,

∫ 1 17 2 u d u 8

Resolvendo,

1 4 2 3 u 3 2 1 17 = u 3 6 1 17

Substituindo os limites de integração:

17 3 6 - 1 6   =   17 17 6 - 1 6

= 1 6 17 17 - 1

Resposta

1 6 17 17 - 1