Calcular a integral curvilínea

∫ C 2 x y d s

Onde C é o arco da circunferência x 2 + y 2 = 4 de 2 ,   0 a 1 ,   3 .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , z = 2 x y

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

A questão nos deu o arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 . Para parametrizar essa curva nós podemos escrever:

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sin ⁡ t

Da parametrização da circunferência, lembra? Vamos descobrir como t varia nesse caso.

Pelos pontos que a questão nos deu, 2 ,   0 a 1 ,   3 , quando x = 2 temos:

2 cos ⁡ t = 2     →   cos ⁡ t = 1

E quando y = 0 ,

2 sin ⁡ t = 0     →   sin ⁡ t = 0

Tanto cos ⁡ t = 1 quanto sin ⁡ t = 0 ocorrem em t = 0 , certo? Agora para o segundo ponto, quando x = 1 ,

2 cos ⁡ t = 1     →   cos ⁡ t = 1 2

E quando y = 3 ,

2 sin ⁡ t = 3     →   sin ⁡ t = 3 2

Nós sabemos também que o cosseno e o seno assumem esses resultados quando t = π 3 . Então descobrimos como t varia:

0 ≤ t ≤ π 3

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 2 cos ⁡ t y = 2 sin ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2

σ → ' t = - 2 sin ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2

σ → ' t = 4 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

σ → ' t = 4 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Nós sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , então:

σ → ' t = 4 = 2

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t ,   y t = 2 ( 2 cos ⁡ t ) ( 2 sin ⁡ t )

Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 π 3 2 ( 2 cos ⁡ t ) ( 2 sin ⁡ t ) ∙ ( 2 )   d t

Resolvendo, temos

16 ∫ 0 π 3 ( cos ⁡ t ∙ sin ⁡ t )   d t

= 16 sin 2 ⁡ t 2 0 π 3  

= 16 2 3 4

= 6

Resposta

6