Calcular a integral curvilínea
Onde é o arco da circunferência de a .
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Para encontrar o precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!
Passo 2
A questão nos deu o arco de circunferência . Para parametrizar essa curva nós podemos escrever:
Da parametrização da circunferência, lembra? Vamos descobrir como varia nesse caso.
Pelos pontos que a questão nos deu, a , quando temos:
E quando ,
Tanto quanto ocorrem em , certo? Agora para o segundo ponto, quando ,
E quando ,
Nós sabemos também que o cosseno e o seno assumem esses resultados quando . Então descobrimos como varia:
Agora vamos calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Nós sabemos que , então:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Juntando tudo, nossa integral fica
Resolvendo, temos