Calcular a integral curvilínea

∫ C x + y d s

Onde C é a interseção das superfícies z = x 2 + y 2 e z = 4 .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , z = x + y

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

A questão nos deu uma curva z = x 2 + y 2 e nos disse que z = 4 , então para parametrizar essa curva vamos substituir isso na primeira equação:

x 2 + y 2 = z

x 2 + y 2 = 4

Que é uma circunferência centrada na origem de raio igual 2. E nós sabemos que para parametrização dessa circunferência, de raio 2, podemos dizer que

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sin ⁡ t

Onde t varia de 0 a 2 π :

0 ≤ t ≤ 2 π

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 2 cos ⁡ t y = 2 sin ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2

σ → ' t = - 2 sin ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2

σ → ' t = 4 sin 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

σ → ' t = 4 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Nós sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , então:

σ → ' t = 4 = 2

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t ,   y t = 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t

Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 2 π ( 2 cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t ) ∙ ( 2 )   d t

Resolvendo, temos

4 ∫ 0 2 π ( cos ⁡ t + sin ⁡ t )   d t

= 4 sin ⁡ t - cos ⁡ t ​ 0 2 π

= 4 sin ⁡ 2 π - cos ⁡ 2 π - sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0

= 4 0 - 1 - 0 + 1

= 0

Resposta

0