Calcular a integral curvilínea

∫ C y ( x - z ) d s

Onde C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 9 e x + z = 3 .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y d s = ∫ t o t 1 f x t , y t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y = y ( x - z )

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

Aqui a questão nos deu a interseção de uma superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 com um plano x + z = 3 . Então vamos substituir uma equação na outra, fazendo:

z = 3 - x

Substituindo,

x 2 + y 2 + 3 - x 2 = 9

Percebe que essa equação lembra a equação de uma elipse? Vamos lembrar! A equação da elipse é dada por:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o centro da elipse e a e b são os semieixos maior e menor. Nesse caso, nossa elipse tem centro

x 0 ,   y 0 = 3 2 ,   0

Semieixo maior b = 3 2 e semieixo menor a = 3 2 . Então, lembrando das equações paramétricas, nós podemos escrever nossa parametrização dessa forma:

x = 3 2 + 3 2 cos ⁡ t y = 3 2 sin ⁡ t z = - 3 2 + 3 2 cos ⁡ t

Com t variando de 0 a 2 π :

0 ≤ t ≤ 2 π

Beleza, vamos agora calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 3 2 + 3 2 cos ⁡ t y = 3 2 sin ⁡ t z = - 3 2 + 3 2 cos ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

σ → ' t = - 3 2 sin ⁡ t 2 + 3 cos ⁡ t 2 2 + - 3 2 sin ⁡ t 2

σ → ' t = 9 4 sin 2 ⁡ t + 9 2 cos 2 ⁡ t + 9 4 sin 2 ⁡ t

                        = 9 2 sin 2 ⁡ t + 9 2 cos 2 ⁡ t

Nós sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , então:

σ → ' t = 9 2 = 3 2

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t , y t = 3 sin ⁡ t 2 3 2 + 3 cos ⁡ t 2 - - 3 2 + 3 cos ⁡ t 2

f x t , y t = 3 sin ⁡ t 2 6 2 = 9 sin ⁡ t 2

Juntando tudo nossa integral fica:

∫ 0 2 π 9 sin ⁡ t 2 3 2   d t

Vamos jogar essas constantes pro lado de fora da integral:

27 2 ∫ 0 2 π sin ⁡ t   d t

Agora é só calcular e substituir os limites de integração:

27 2 cos ⁡ t 0 2 π = 27 2 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0

27 2 1 - 1 =

27 2 ( 0 ) = 0

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