Calcular a integral curvilínea

∫ C x 2 d s

Onde C é o arco da hipocicloide x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3 , a > 0 , 1º quadrante.

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y = x 2

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

A questão nos deu um hipocicloide no 1º quadrante, que é mais ou menos isso aqui:

Nós podemos parametrizar essa curva fazendo:

x = a cos 3 ⁡ t

y = a sin 3 ⁡ t

Como está no primeiro quadrante, t varia no intervalo 0 , π 2 , ou

0 ≤ t ≤ π 2

Agora vamos calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = a cos 3 ⁡ t y = a sin 3 ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2

σ → ' t = - 3 a cos 2 ⁡ t ∙ sin ⁡ t 2 + 3 a sin 2 ⁡ t ∙ cos ⁡ t 2

σ → ' t = 9 a 2 cos 4 ⁡ t sin 2 ⁡ t + 9 a 2 sin 4 ⁡ t cos 2 ⁡ t

σ → ' t = 9 a 2 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t ( cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t )

σ → ' t = 9 a 2 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t 1

= 3 a cos ⁡ t sin ⁡ t

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t ,   y t = a cos 3 ⁡ t 2

f x t ,   y t = a 2 cos 6 ⁡ t

Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 π 2 ( a 2 cos 6 ⁡ t ) ∙ ( 3 a cos ⁡ t sin ⁡ t )   d t

Resolvendo, temos

3 a 3 ∫ 0 π 2 ( cos 7 ⁡ t ∙ sin ⁡ t )   d t

Vamos chamar u = cos ⁡ t para facilitar nossos cálculos, e nesse caso teremos:

d u = - sin ⁡ t   d t

Substituindo,

- 3 a 3 ∫ 0 π 2 ( u 7 )   d u

= - 3 a 3 u 8 8 0 π 2

Voltando para variável t :

= - 3 a 3 cos 8 ⁡ t 8 0 π 2  

= 3 a 3 1 8

= 3 a 3 8

Resposta

3 a 3 8