Calcular a integral curvilínea
Onde é o arco da hipocicloide , , 1º quadrante.
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Para encontrar o precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!
Passo 2
A questão nos deu um hipocicloide no 1º quadrante, que é mais ou menos isso aqui:

Nós podemos parametrizar essa curva fazendo:
Como está no primeiro quadrante, varia no intervalo , ou
Agora vamos calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Juntando tudo, nossa integral fica
Resolvendo, temos
Vamos chamar para facilitar nossos cálculos, e nesse caso teremos:
Substituindo,
Voltando para variável :