Calcular a integral curvilínea

∫ C ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s

Onde C é a interseção das superfícies x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1 e y = 2 .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y d s = ∫ t o t 1 f x t , y t σ → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y = ( x 2 + y 2 + z 2 )

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!

Passo 2

Aqui a questão nos deu a interseção de uma superfície esférica x 2 16 + y 2 9 + z 2 16 = 1 com um plano y = 2 . Então vamos substituir uma equação na outra, fazendo:

x 2 16 + 2 2 9 + z 2 16 = 1

x 2 16 + z 2 16 + 4 9 = 1

x 2 16 + z 2 16 = 5 9             →           x 2 + z 2 = 80 9

Perceba que essa é a equação de uma circunferência de raio 80 3 = 4 5 3 . Então, lembrando das equações paramétricas, nós podemos escrever nossa parametrização assim:

x = 4 5 3 cos ⁡ t y = 2 z = 4 5 3 sin ⁡ t

Com t variando de 0 a 2 π :

0 ≤ t ≤ 2 π

Beleza, vamos agora calcular o d s .

Passo 3

Sabemos que

d s = σ → ' ( t ) d t

Nós encontramos o σ → ( t ) no passo anterior:

x = 4 5 3 cos ⁡ t y = 2 z = 4 5 3 sin ⁡ t

Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

σ → ' t = - 4 5 3 sin ⁡ t 2 + 0 2 + 4 5 3 cos ⁡ t 2

σ → ' t = 80 9 sin 2 ⁡ t + 80 9 cos 2 ⁡ t

                        = 80 9 =   4 5 3

Passo 4

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t , y t = 4 5 3 cos ⁡ t 2 + 2 2 + 4 5 3 sin ⁡ t 2

f x t , y t = 80 9 cos 2 ⁡ t + 4 + 80 9 sin 2 ⁡ t

Juntando tudo nossa integral fica:

∫ 0 2 π 80 9 cos 2 ⁡ t + 4 + 80 9 sin 2 ⁡ t ∙ 4 5 3   d t

Sabendo que cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 , temos

∫ 0 2 π 80 9 + 4 ∙ 4 5 3   d t

= ∫ 0 2 π 116 9 4 5 3 d t

Agora é só calcular e substituir os limites de integração:

= 464 5 27 t 0 2 π = 464 5 27 2 π - 0

928 5 27 π

Resposta

928 5 27 π