Calcular a integral curvilínea
Onde é a interseção das superfícies e .
Passo 1
Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:
Nossa função, nesse caso, é dada por:
Para encontrar o precisamos parametrizar a curva. Então vamos lá!
Passo 2
Aqui a questão nos deu a interseção de uma superfície esférica com um plano . Então vamos substituir uma equação na outra, fazendo:
Perceba que essa é a equação de uma circunferência de raio . Então, lembrando das equações paramétricas, nós podemos escrever nossa parametrização assim:
Com variando de a :
Beleza, vamos agora calcular o .
Passo 3
Sabemos que
Nós encontramos o no passo anterior:
Calculando a derivada do módulo desse vetor, temos:
Passo 4
Agora podemos substituir o na integral e escrever em função de .
Juntando tudo nossa integral fica:
Sabendo que , temos
Agora é só calcular e substituir os limites de integração: