Calcular a integral curvilínea

∫ C y 2 d s

Onde C é o primeiro arco do cicloide r → t = 2 t - sin ⁡ t i → + 2 1 - cos ⁡ t j → .

Passo 1

Para calcular essa integral curvilínea o primeiro passo é montar o problema. Queremos chegar numa solução dessa forma:

∫ C f x , y , z d s = ∫ t o t 1 f x t , y t ,   z t r → ' ( t ) d t

Nossa função, nesse caso, é dada por:

f x , y = y 2

Para encontrar o d s precisamos parametrizar a curva, mas nesse caso a questão já nos deu a curva parametrizada:

r → t = 2 t - sin ⁡ t i → + 2 1 - cos ⁡ t j →

Isso já resolve metade dos nossos problemas rs. Agora precisamos só calcular o d s e escrever f em função de t . Vamos lá!

Passo 2

Sabemos que

d s = r → ' ( t ) d t

Nós encontramos o r → ( t ) no passo anterior,

r → t = 2 t - 2 sin ⁡ t ,   2 - 2 cos ⁡ t

Então vamos calcular a derivada do módulo desse vetor:

r → ' t = d x d t 2 + d y d t 2

r → ' t = 2 - 2 cos ⁡ t 2 + 2 sin ⁡ t 2

r → ' t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 sin 2 ⁡ t

r → ' t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 ( cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t )

Sabendo que cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ,

r → ' t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 1

= 4 - 8 cos ⁡ t + 4

= 8 - 8 cos ⁡ t

= 8 1 - cos ⁡ t

2 2 1 - cos ⁡ t

Passo 3

Agora podemos substituir o d s na integral e escrever f em função de t .

f x t ,   y t = 2 ( 1 - cos ⁡ t ) 2

f x t ,   y t = 2 - cos 2 ⁡ t

Como é o primeiro arco do cicloide t varia em 0 ,   2 π . Juntando tudo, nossa integral fica

∫ 0 2 π ( 2 - cos 2 ⁡ t ) ∙ ( 2 2 1 - cos ⁡ t )   d t

Resolvendo, temos

8 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 5 2   d t

= 8 2 - 3 cos ⁡ 5 t 2 - 25 cos ⁡ 3 t 2 + 150 cos ⁡ t 2 15 2 0 2 π

Aplicando os intervalos,

= 8 - 3 cos ⁡ 5 π + 25 cos ⁡ 3 π - 150 cos ⁡ π - 3 cos ⁡ 0 + 25 cos ⁡ 0 - 150 cos ⁡ 0 15

= 8 3 - 25 + 150 - ( - 3 + 25 - 150 ) 15

= 2048 15

Resposta

2048 15