Calcular os limites nos Exercícios 11 a 20 e explicar que teoremas se utilizam para cada exemplo

lim x → π 2 ⁡ s e n ( c o s x ) c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Bom, para começar vamos checar se o limite pode ser achado de forma direta, pensaremos na conta:

s e n ( c o s ⁡ ( π 2 ) c o s ⁡ ( π 2 )

Com auxílio do círculo trigonométrico abaixo, conseguimos ver que:

cos ⁡ π 2 =     0

  s e n cos ⁡ π 2 = s e n 0 = 0

Portanto, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Passo 2

Com isso, quando temos indeterminações do tipo 0 0 , podemos utilizar a regra/teorema de L’hopital que diz: Nos casos em que há indeterminações do tipo 0   0 ou ∞ ∞ o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador pela derivada do denominador.

Pelo teorema:

lim x → π 2 ⁡ s e n ( c o s x ) c o s ⁡ ( x ) = lim x → π 2 ⁡ ( s e n c o s x ) ' ( cos ⁡ x ) '

Passo 3

Derivada do denominador:

(cos(x))’ = -sen(x)

Derivada do numerador:

Pela regra da cadeia s e n c o s x ' = c o s x ' s e n ' c o s x ) ] = - s e n x cos ⁡ cos ⁡ x

“Uma forma menos matemática de entender a regra da cadeia é pensar que regra é definida por: a derivada do que está dentro vezes a derivada do que está fora, com o que está dentro”

Derivada do denominador (cos(x))’ = -sen(x)

s e n c o s x ' ( c o s ( x ) ) ’ =   - s e n x c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x )

Ou seja, quero:

lim x → π 2 ⁡ - s e n x c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) - s e n ( x ) = c o s ⁡ ( c o s ⁡ ( x ) 1 = cos ⁡ cos ⁡ π 2 = 1

Resposta

lim x → π 2 ⁡ s e n ( c o s x ) c o s ⁡ ( x ) = 1   ,   u t i l i z a m o s   a   r e g r a   d e   L ' h o p i t a l