Calcular os limites nos Exercícios 11 a 20 e explicar que teoremas se utilizam para cada exemplo

sen(t - pi) / (t - pi)

Passo 1

Bom, para começar vamos checar se o limite pode ser achado de forma direta, pensaremos na conta:

s e n ( π - π ) π - π =   0 0

Passo 2

Olhando rápido parece ser um caso de L’hopital ou algo do gênero, porém podemos pensar numa substituição de variável que irá nos ajudar a enxergar o que está por trás do limite.

Faremos a seguinte substituição:

x = t   -   π

Além disso, temos que pensar que x = t   –   π e quando t tende a   π ,   t   -   π   tende a zero, logo, se t tende a π , x tende a zero, podemos escrever que:

t - π   = x   = 0

Passo 3

Agora aparece algo muito conhecido de forma mais clara, pois:

s e n ( t - π ) t - π   =   s e n ( x ) x = 1  

Ou seja, o limite fundamental trigonométrico, que é igual a 1.

Caso não conheça esse limite, vamos mostra-lo:

s e n ( x ) x =   s e n ( 0 ) 0   , podemos aplicar L’hopital (indeterminação 0 0 )

s e n ( x ) x =   ( s e n x ) ' x ' = c o s ⁡ ( x )   = c o s c o s   0   = 1      

Como a questão pede indiretamente para usar um teorema, podemos levar em conta que para chegar no limite fundamental, usamos L’hopital.

Resposta

s e n ( t - π ) t - π   = 1

Utilizando L’hopital / limite trigonométrico.