Calcular os limites nos Exercícios 11 a 20 e explicar que teoremas se utilizam para cada exemplo

lim x → 1 ⁡ s e n ( x 2 - 1 ) x - 1

Passo 1

Bom, para começar vamos checar se o limite pode ser achado de forma direta, pensaremos na conta:

s e n 1 2 - 1 1 - 1 = s e n ( 0 ) 0 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Passo 2

Com isso, quando temos indeterminações do tipo 0 0 , podemos utilizar a regra/teorema de L’hopital que diz: Nos casos em que há indeterminações do tipo 0   0 ou ∞ ∞ o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador pela derivada do denominador.

Pelo teorema:

lim x → 1 ⁡ s e n ( x 2 - 1 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ ( s e n x 2 - 1 ) ' ( x - 1 ) '

Denominador:

x - 1 ' = x

Numerador:

Para acharmos ( s e n x 2 - 1 ' iremos usar a regra da cadeia:

s e n x 2 - 1 ' = x 2 - 1 ' s e n ' x 2 - 1 = 2 x ( cos ⁡ x 2 - 1 )

Passo 3

Então, temos que:

lim x → 1 ⁡ s e n ( x 2 - 1 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ ( s e n x 2 - 1 ) ' ( x - 1 ) ' = lim x → 1 ⁡ 2 x ( cos ⁡ x 2 - 1 ) x =

=   lim x → 1 ⁡ 2 ( cos ⁡ x 2 - 1 ) 1 = 2   cos ⁡ 0 = 2 1 = 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ s e n ( x 2 - 1 ) x - 1 = 2 ,   u t i l i a n d o   L ' h o p i t a l .