Calcular os limites nos Exercícios 11 a 20 e explicar que teoremas se utilizam para cada exemplo

lim ⁡ ( x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) x 2 )

Passo 1

Bom, para começar vamos checar se o limite pode ser achado de forma direta, pensaremos na conta:

1 - c o s ⁡ ( 0 ) 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Passo 2

Com isso, quando temos indeterminações do tipo 0 0 , podemos utilizar a regra/teorema de L’hopital que diz: Nos casos em que há indeterminações do tipo 0   0 ou ∞ ∞ o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador pela derivada do denominador.

Pelo teorema:

lim ⁡ ( x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) x 2 ) = lim ⁡ ( x → 0 ⁡ ( 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) ) ' ( x 2 ) ' )

Numerador (utilizando a regra da cadeia):

1 - cos ⁡ 2 x ' =   - 2 x ' c o s ' 2 x =   - 2 - s e n 2 x = 2 s e n ( 2 x )

Denominador:

( x 2 ) ' = 2 x

Logo:

lim ⁡ ( x → 0 ⁡ ( 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) ) ' ( x 2 ) ' ) =   lim ⁡ ( x → 0 ⁡ 2 s e n ( 2 x ) 2 x ) = 2 ( lim ⁡ ( x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x ) )

Passo 3

Agora veja que:

lim ⁡ ( x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x )   = 1 ,   p e l o   L i m i t e   F u n d a m e n t a l   T r i g o n o m é t r i c o .

Caso não conheça esse limite, vamos mostra-lo:

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) 2 x =   s e n ( 0 ) 0 , podemos aplicar L’hopital (indeterminação 0 0 )

lim x → 0 ⁡ s e n ( 2 x ) 2 x =   lim x → 0 ⁡ ( s e n 2 x ) ' ( 2 x ) ' = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ ( 2 x ) 2 ⁡ =   lim x → 0 ⁡ cos ⁡ ( 2 x ) 1 ⁡ =   1  

Ou seja:

2 ( lim ⁡ ( x → 0 ⁡ s e n 2 x 2 x ) ) =   2   ( 1 ) =   2

Resposta

lim ⁡ ( x → 0 ⁡ 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) x 2 ) = 2 ,   U t i l i z a n d o   L ' h o p i t a l