Enunciado

Calcule l i m n → + ∞ a n + 1 a n e l i m n → + ∞ a n n

Letra a)

a n = n ! n n

Passo 1

Quando a n = n ! n n , o limite l i m n → + ∞ a n + 1 a n será.

l i m n → + ∞ n + 1 ! n + 1 n + 1 n ! n n = l i m n → + ∞ n + 1 ! n + 1 n + 1 ⋅ n n n !

Abrindo o termo fatorial

l i m n → + ∞ n + 1 ⋅ n ! n + 1 n + 1 ⋅ n n n ! →       l i m n → + ∞ n + 1 ⋅ n n n + 1 n + 1

Fornece-nos ainda

l i m n → + ∞ n n + 1 n =   l i m n → + ∞ n + 1 n - n =     l i m n → + ∞ 1 + 1 n - n - 1

A ultima igualdade é igual a

l i m n → + ∞ 1 + 1 n - n - 1 = e - 1 = 1 e

Passo 2

No exercício 6 vimos que

l i m n → + ∞ a n n = 1 e

Então o limite quando a n = n ! n n é

l i m n → + ∞ n ! n n n = 1 e

Resposta

l i m n → + ∞ a n + 1 a n   = 1 e

l i m n → + ∞ a n n = 1 e

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