Enunciado

Calcule a área da região usando uma integral dupla.

A região envolvida pela rosácea r   =   c o s   3 θ .

Passo 1

Bora galera! Vamos começar essa questão de integral dupla observando os dados fornecidos no enunciado.

r   = a   c o s n θ → n = n ú m e r o   d e   p e t a l a s   d a   r o s á c e a

r =   c o s   3 θ → r = 1 2   c o s   6 θ   → n = 6

0 ≤ r ≤ c o s   3 θ

0 ≤ θ ≤ π 6

Assim, temos que a área é:

∫ 0 π 6 ∫ 0 c o s   3 θ 6 r d r d θ

Passo 2

Resolvendo a integral, temos:

∫ 0 π 6 ∫ 0 c o s   3 θ 6 r d r d θ = ∫ 0 π 6 3 r 2 0 c o s   3 θ d θ = ∫ 0 π 6 3 c o s 2 3 θ d θ = 3 ∫ 0 π 6 1 + c o s 2 6 θ 2 d θ = 3 θ - s e n 2 6 θ 2 0 π 6 = 3 π 12 - s e n 2 π 2 - 0 + s e n 2 0 2 = π 4

Resposta

π 4

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