Calcule o comprimento do astróide x^(2/3) + y^(2/3) = 1 (Figura 11).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, vamos calcular a derivada de y = (1 - x^((2)/(3)))^(3 // 2)

y^' = [(1 - x^((2)/(3)))^((3)/(2))]^' = - (sqrt(1 - x^(2 // 3)))/(root(3)(x))

Portanto, trabalhando com 1 + (y^')^2 nós temos que

1 + (y^')^2 = 1 + (- (sqrt(1 - x^((2)/(3))))/(root(3)(x)))^2

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

1 + (y^')^2 = 1 + (1 - x^((2)/(3)))/(x^((2)/(3))) = (1)/(x^((2)/(3)))

Passo 2

Calculando o comprimento de arco no primeiro quadrante, nós obtemos o seguinte resultado

s = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x = int_0^1 sqrt((1)/(x^((2)/(3)))) d x

Desenvolvendo

s = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x = int_0^1 (1)/(x^((1)/(3))) d x

Que tem como resultado

s = [(3)/(2) x^((2)/(3))]_0^1 = (3)/(2)

O arco total é igual a

s = 4 xx (3)/(2) = 6

Resposta

s = 6