Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f(x, y) = (x + y) / (x - y); (x ≠ y)

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x + y x - y   →   ∂ f ∂ x = 1 . x - y - x + y . 1 x - y 2 = - 2 y x - y 2

∂ f ∂ x = - 2 y x - y 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = - 2 y x - y 2 →   ∂ 2 f ∂ x 2 = - 2 y . ( - 2.1 ) x - y 3 =   + 4 y x - y 3

∂ 2 f ∂ x 2 =   + 4 y x - y 3

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x + y x - y   →   ∂ f ∂ y =   1 . x - y - x + y . ( - 1 ) x - y 2 = 2 x x - y 2

∂ f ∂ y = 2 x x - y 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = 2 x x - y 2 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = - 2 x . ( - 2.1 ) x - y 3 =   + 4 x x - y 3

∂ 2 f ∂ y 2 = 4 x x - y 3

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y - 2 y x - y 2   = - 2 . x - y 2 - - 2 y . ( 2 . x - y . ( - 1 ) x - y 4

f 1,2 x , y =     - 2 . x - y 2 - 4 y x - y x - y 4 = - 2 . ( x 2 - 2 x y + y 2 ) - 4 ( x y - y 2 ) x - y 4

f 1,2 x , y = - 2 . x 2 + 2 y 2 x - y 4 →   f 1,2 x , y = - 2 .   x - y . x + y x - y 4 →

  f 1,2 x , y = - 2 .   x + y x - y 3

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 x x - y 2 = 2 . x - y 2 - 2 x . ( 2 . x - y . ( 1 ) x - y 4

f 2,1 x , y = 2 . x - y 2 - 4 x x - y x - y 4 = 2 . x 2 - 2 x y + y 2 - 4 x 2 + 4 x y ) x - y 4

f 2,1 x , y = - 2 .   x - y . x + y x - y 4 → f 2,1 x , y = - 2 .   x + y x - y 3  

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   - 2 y x - y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 4 y x - y 3

∂ f ∂ y =   2 x x - y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 4 x x - y 3

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y = - 2 .   x + y x - y 3