Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f(x, y) = sen(x^2 * y^3)

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = s e n x 2 y 3   →   ∂ f ∂ x = cos ⁡ x 2 y 3 . 2 y 3 x

∂ f ∂ x = 2 xy 3 cos ⁡ x 2 y 3

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = 2 y 3 . x . cos ⁡ x 2 y 3 →   ∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y 3 cos ⁡ x 2 y 3 + 2 y 3 x . s e n x 2 y 3 . 2 x y 3  

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y 3 cos ⁡ x 2 y 3 + 4 x 2 y 6 . s e n x 2 y 3  

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = s e n x 2 y 3   →   ∂ f ∂ y =   3 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 y 3

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = 3 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 y 3 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = 3 x 2 [ 2 y .   ( cos ⁡ x 2 y 3 ) + y 2 . ( - s e n x 2 y 3 . 3 x 2 y 2 ) ]

∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x 2 y .   cos ⁡ x 2 y 3 - 9 x 4 y 4 . s e n x 2 y 3

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 2 xy 3 cos ⁡ x 2 y 3 = 2 x [ 3 y 2 cos ⁡ x 2 y 3 - y 3 s e n x 2 y 3 3 x 2 y 2 ]  

f 1,2 x , y =   6 x y 2 cos ⁡ x 2 y 3 - 6 x 3 y 5 s e n x 2 y 3  

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 3 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 y 3 = 3 y 2 [ 2 x cos ⁡ x 2 y 3 - x 2 s e n x 2 y 3 2 x y 3 ]

f 2,1 x , y =   6 x y 2 cos ⁡ x 2 y 3 - 6 x 3 y 5 s e n x 2 y 3

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   2 xy 3 cos ⁡ x 2 y 3

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y 3 cos ⁡ x 2 y 3 + 4 x 2 y 6 . s e n x 2 y 3

∂ f ∂ y =   3 x 2 y 2 cos ⁡ x 2 y 3

∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x 2 y .   cos ⁡ x 2 y 3 - 9 x 4 y 4 . s e n x 2 y 3

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y = 6 x y 2 cos ⁡ x 2 y 3 - 6 x 3 y 5 s e n x 2 y 3