Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f(x, y) = xy + x / y; (y ≠ 0)

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x y + x y   →   ∂ f ∂ x = y + 1 y

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = y + 1 y →   ∂ 2 f ∂ x 2 = 0

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x y + x y   →   ∂ f ∂ y = x - x y 2  

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = x - x y 2 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = + 2 x y 3

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y y + 1 y = 1 - 1 y 2

f 1,2 x , y =   1 - 1 y 2  

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x - x y 2 = 1 - 1 y 2

f 2,1 x , y =   1 - 1 y 2

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ ∂ x =   y + 1 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ f ∂ y =   x - x y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x y 3

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y =   1 - 1 y 2