Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x 2 y 2

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x 2 y 2 →   ∂ f ∂ x = 4 x 3 + 0 - 4 y 2 .   2 x → ∂ f ∂ x =   4 x 3 - 8 x y 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x =   4 x 3 - 8 x y 2 →   ∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2 - 8 y 2

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x 2 y 2 →   ∂ f ∂ y = 0 + 4 y 3 - 4 x 2 .   2 y → ∂ f ∂ y =   4 y 3 - 8 x 2 y

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y =   4 y 3 - 8 y x 2 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y 2 - 8 x 2

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 4 x 3 - 8 x y 2 = 0 - 8 x . 2 y =   - 16 x y  

f 1,2 x , y =   - 16 x y

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y 3 - 8 y x 2 = 0 - 8 y . 2 x =   - 16 x y  

f 2,1 x , y =   - 16 x y

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   4 x 3 - 8 x y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2 - 8 y 2

∂ f ∂ y =   4 y 3 - 8 x 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y 2 - 8 x 2

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y =   - 16 x y