Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f(x, y) = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x 2 + y 2   →   ∂ f ∂ x = 1 2 .   2 x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2

∂ f ∂ x = x x 2 + y 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = x .   x 2 + y 2 - 1 2 →   ∂ 2 f ∂ x 2 = 1 . x 2 + y 2 - 1 2 + x . - 1 2 . x 2 + y 2 - 3 2 . 2 x

∂ 2 f ∂ x 2 = 1 x 2 + y 2 -   x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2 = y 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = y 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x 2 + y 2   →   ∂ f ∂ y =   y x 2 + y 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = y x 2 + y 2 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y x x 2 + y 2 = ∂ ∂ y x . x 2 + y 2 - 1 2 = - 1 2 . x . x 2 + y 2 - 3 2 . 2 y  

f 1,2 x , y =   - x y . x 2 + y 2 - 3 2  

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x y x 2 + y 2 = - 1 2 . y . x 2 + y 2 - 3 2 . 2 x

f 2,1 x , y =   - x y . x 2 + y 2 - 3 2

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   x x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = y 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

∂ f ∂ y =   y x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y = - x y . x 2 + y 2 - 3 2