Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f x , y = x s e n ( x + y )

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x s e n x + y →   ∂ f ∂ x = s e n x + y + x c o s ⁡ ( x + y )

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x =   s e n x + y + x c o s ⁡ ( x + y ) →   ∂ 2 f ∂ x 2 = c o s c o s   x + y +   [ c o s x + y - x s e n ( x + y )

∂ 2 f ∂ x 2 = x + y   - x s e n ( x + y )

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x s e n x + y →   ∂ f ∂ y = x . c o s c o s   x + y  

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = x . c o s c o s   x + y   →   ∂ 2 f ∂ y 2 = - x s e n x + y

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y s e n x + y + x c o s ⁡ ( x + y ) = c o s c o s   x + y   - x s e n ( x + y )  

f 1,2 x , y =   c o s c o s   x + y   - x s e n ( x + y )  

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x c o s c o s   x + y   = c o s c o s   x + y   - x . s e n ( x + y )

f 2,1 x , y =   c o s c o s   x + y   - x . s e n ( x + y )

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   s e n x + y + x c o s ⁡ ( x + y )

∂ 2 f ∂ x 2 = x + y   - x s e n ( x + y )

∂ f ∂ y =   x . c o s c o s   x + y  

∂ 2 f ∂ y 2 = - x s e n x + y

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y =   c o s c o s   x + y   - x . s e n ( x + y )