Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.
Passo 1
Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:
Passo 2
Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:
- Derivando parcialmente em relação a x e utilizando a regra da cadeia duas vezes:
- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:
Utilizando a regra do produto e a da cadeia, temos:
- Derivando, parcialmente, em relação a y:
- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:
Passo 3
Achando agora f1,2(x, y) e f2,1(x, y) e comparando-os:
- f1,2(x, y):
- f2,1(x, y):
Portanto, f1,2(x, y) e f2,1(x, y) são iguais.