Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f x , y = s e n cos ⁡ 2 x - 3 y

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando parcialmente em relação a x e utilizando a regra da cadeia duas vezes:

f x , y = s e n cos ⁡ 2 x - 3 y →   ∂ f ∂ x = cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . 2    

∂ f ∂ x = - 2 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = - 2 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y →

Utilizando a regra do produto e a da cadeia, temos:

  ∂ 2 f ∂ x 2 = - 2 . { - s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . ( 2 ) . s e n 2 x - 3 y + cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y . 2 }  

∂ 2 f ∂ x 2 = - 4 . s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y - 4 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y    

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = s e n cos ⁡ 2 x - 3 y   →   ∂ f ∂ y = cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . ( - 3 )  

∂ f ∂ y = 3 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = 3 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y →

  ∂ 2 f ∂ y 2 = 3 . { - s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . ( - 3 ) . s e n 2 x - 3 y + cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y . ( - 3 ) }  

∂ 2 f ∂ y 2 = - 9 . s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y - 9 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y

Passo 3

Achando agora f1,2(x, y) e f2,1(x, y) e comparando-os:

- f1,2(x, y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y - 2 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y =  

f 1,2 x , y = - 2 . { - s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . ( - 3 ) . s e n 2 x - 3 y + cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y . ( - 3 ) }    

f 1,2 x , y = 6 s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y + 6 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . cos ⁡ 2 x - 3 y  

- f2,1(x, y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 3 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y =

f 2,1 x , y = 3 . { - s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . - s e n 2 x - 3 y . ( + 2 ) . s e n 2 x - 3 y + cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y . ( + 2 ) }

f 2,1 x , y = 6 s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y + 6 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . cos ⁡ 2 x - 3 y

Portanto, f1,2(x, y) e f2,1(x, y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   - 2 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y

∂ 2 f ∂ x 2 = - 4 . s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y - 4 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y  

∂ f ∂ y = 3 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 x - 3 y  

∂ 2 f ∂ y 2 = - 9 . s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y - 9 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y . ( cos ⁡ 2 x - 3 y

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y = 6 s e n   cos ⁡ 2 x - 3 y . s e n 2 2 x - 3 y + 6 cos ⁡ cos ⁡ 2 x - 3 y cos ⁡ 2 x - 3 y