Calcule a derivada parcial de primeira e segunda ordem e verifique se f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

f(x, y) = x / raiz(x^2 + y^2); (x, y) ≠ (0, 0)

Passo 1

Primeiramente, esclarecendo a notação utilizada na questão:

f 1 x , y =   ∂ f ∂ x

f 2 x , y =   ∂ f ∂ y

f 1,2 x , y = ∂ f ∂ y ∂ x =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

f 2,1 x , y = ∂ f ∂ x ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

Passo 2

Agora, calculando as derivadas parciais em relação a x e a y, temos:

- Derivando, parcialmente, em relação a x:

f x , y = x x 2 + y 2   → f x , y = x .   x 2 + y 2 - 1 2 →    

  ∂ f ∂ x = 1 . x 2 + y 2 - 1 2 + x . - 1 2 . x 2 + y 2 - 3 2 . 2 x

∂ f ∂ x = 1 x 2 + y 2 -   x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - x 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2 = y 2 ( x 2 + y 2 ) . x 2 + y 2

∂ f ∂ x = y 2 . x 2 + y 2 - 3 2        

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem, em relação a x:

∂ f ∂ x = y 2 . x 2 + y 2 - 3 2 →   ∂ 2 f ∂ x 2 = - 3 2 . y 2 . x 2 + y 2 - 5 2 . 2 x = - x y 2 . x 2 + y 2 -   5 2  

∂ 2 f ∂ x 2 = - x y 2 . x 2 + y 2 -   5 2  

- Derivando, parcialmente, em relação a y:

f x , y = x x 2 + y 2   →   f x , y = x .   x 2 + y 2 - 1 2 →

∂ f ∂ y = - 1 2 . x . x 2 + y 2 - 3 2 . 2 y = - x y . x 2 + y 2 - 3 2

- Derivando novamente, para acharmos a derivada de segunda ordem:

∂ f ∂ y = - x y . x 2 + y 2 - 3 2 →   ∂ 2 f ∂ y 2 = - x . [ 1 . x 2 + y 2 - 3 2 + y . - 3 2 . x 2 + y 2 - 5 2 . 2 y ]

∂ 2 f ∂ y 2 = - x x 2 + y 2 3 2 + 3 x y 2 x 2 + y 2 . x 2 + y 2 3 2 = - x .     x 2 + y 2 - 3 y 2 x 2 + y 2 5 2 = - x .   x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 5 2

∂ 2 f ∂ y 2 = - x .   x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 5 2

Passo 3

Achando agora f1,2(x,y) e f2,1(x,y) e comparando-os:

- f1,2(x,y):

f 1,2 x , y =   ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y y 2 . x 2 + y 2 - 3 2 = 2 y x 2 + y 2 - 3 2 + y 2 - 3 2 . x 2 + y 2 - 5 2 . 2 y  

f 1,2 x , y = 2 y x 2 + y 2 3 2 + - 3 y 3 x 2 + y 2 . x 2 + y 2 3 2 = 2 y x 2 + y 2 - 3 y 3 x 2 + y 2 5 2 =   2 y x 2 - y 3 x 2 + y 2 5 2

f 1,2 x , y =   y ( 2 x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 5 2

- f2,1(x,y):

f 2,1 x , y =   ∂ ∂ x - x y x 2 + y 2 - 3 2 = - y x 2 + y 2 - 3 2 + ( - x y ) - 3 2 . x 2 + y 2 - 5 2 . 2 x

f 2,1 x , y = - y x 2 + y 2 3 2 + 3 x 2 y x 2 + y 2 . x 2 + y 2 3 2 = - y x 2 + y 2 + 3 x 2 y x 2 + y 2 5 2  

f 2,1 x , y =   y ( 2 x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 5 2

Portanto, f1,2(x,y) e f2,1(x,y) são iguais.

Resposta

∂ f ∂ x =   y 2 . x 2 + y 2 - 3 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - x y 2 . x 2 + y 2 -   5 2

∂ f ∂ y =   - x y . x 2 + y 2 - 3 2

∂ 2 f ∂ y 2 = - x .   x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 5 2

f 1,2 x , y = f 2,1 x , y = y ( 2 x 2 - y 2 ) x 2 + y 2 5 2