Calcule a força de um lado de uma placa circular de 2 pés de raio, submersa verticalmente num tanque d’água de tal modo que o topo do círculo seja tangente à superfície d’água.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Colocando a origem no ponto onde o topo do círculo é tangente à superfície da água e orientando o eixo y apontando para baixo. A equação do círculo é então

x 2 + y - 2 2 = 4

E a largura em qualquer profundidade y é

2 4 - y - 2 2

Portanto, nós temos que

F = 2 ρ g ∫ 0 4 y 4 - y - 2 2   d y

Usando a substituição y - 2 = 2 sen ⁡ θ e d y = 2 cos ⁡ θ   d θ , os limites de integração se tornam - π 2 ≤ θ ≤ π 2 , então, nós encontramos que

F = 2 ρ g ∫ - π 2 π 2 ( 2 + 2 sen ⁡ θ ) ( 2 cos ⁡ θ ) ( 2 cos ⁡ θ   d θ ) = 16 ρ g ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 2

Essa integral tem como resultado

F = 16 ρ g 1 2 θ + 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 3 cos 3 ⁡ θ - π 2 π 2

Com isso, nós temos que

F = 16 ρ g π 4 + 0 - 0 - - π 4 + 0 - 0 = 8 ρ g π

Logo,

F = 78,400 π   N

Resposta

F = 78,400 π   N