Enunciado

Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando R como uma região do tipo I e (b) tratando R como uma região do tipo II.

∬ R x y 2 d A ; R   é   a   r e g i ã o   d e l i m i t a d a   p o r   y   =   1 ,   y   = 2   e   x   =   0   e   y = x .

Passo 1

Fala galera! Antes de iniciar essa questão, vamos lembrar o que é região do tipo I e II.

Por definição temos:

“(a) Uma região do tipo I é limitada à esquerda e à direita por retas verticais x   =   a e

x   =   b e é limitada abaixo e acima por curvas contínuas y   =   g 1 ( x ) e y   =   g 2 ( x ) , onde

g 1 ( x )   ≤   g 2 ( x ) com a   ≤   x   ≤   b .

(b) Uma região do tipo II é limitada abaixo e acima por retas horizontais y   =   c e y   =   d e é limitada à direita e à esquerda por curvas contínuas x   =   h 1 ( y ) e x   =   h 2 ( y ) , que satisfazem h 1 ( y )   ≤   h 2 ( y ) com c   ≤   y   ≤   d .”

Passo 2

Letra (a) considerando R como uma região do tipo I, temos:

∬ R f x , y d A = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f x , y d y d x = ∫ 1 2 ∫ 0 x x y 2 d y d x = ∫ 1 2 x y 3 3 0 x d x = ∫ 1 2 x 4 3 d x = x 5 15 1 2 =   2 5 15 - 1 5 15 = 31 15

Letra (b) considerando R como uma região do tipo II, temos:

∬ R f x , y d A = ∫ c d ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) f x , y d x d y = ∫ 1 2 ∫ 0 y x y 2 d x d y = ∫ 1 2 x 2 y 2 2 0 y d x = ∫ 4 8 y 4 2 d x = y 5 10 1 2 =   2 5 10 - 1 5 10 = 31 10

Resposta

31 10

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