Calcule as integrais duplas.

∬_R^() ( 4 - x^2 - y^2 ) d A , R é o s e t o r d o p r i m e i r o q u a d r a n t e l i m i t a d o p e l o c í r c u l o x^2 + y^2 = 4 e p e l o s e i x o s d e c o o r d e n a d a s .

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão. Primeiramente encontraremos os limites de integração.

r^2 = x^2 + y^2

0 <= r <= 2

0 <= theta <= pi // 2

∬_R^() ( 4 - x^2 - y^2 ) d A = int_0^(pi // 2) int_0^2 ( 4 - r^2 ) r d r d theta

Passo 2

Vamos resolver a integral dupla.

int_0^(pi // 2) int_0^2 ( 4 - r^2 ) r d r d theta = int_0^(pi // 2) int_0^2 ( 4 r - r^3 ) d r d theta = int_0^(pi // 2) [(2 r^2 - (r^4)/(4))]_0^2 d theta = int_0^(pi // 2) 4 d theta = [(4 theta)]_0^(pi // 2) = 4 * (pi)/(2) = 2 pi

Resposta

2 pi