Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão.

35)

∫ 0 e π 3 1 x cos ⁡ ln ⁡ x   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 0 e π 3 1 x cos ⁡ ln ⁡ x   d x

Passo 2

Façamos:

u = ln ⁡ x

Logo:

d u d x = 1 x

Lembrando que quando:

x = 0 → u = ln ⁡ 0 = 1

E:

x = e π 3 → ln ⁡ e π 3 = π 3

Assim ficando:

∫ 1 π 3 1 cos ⁡ u d u

Que podemos fazer:

∫ 1 π 3 sec ⁡ u d u

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ a b sec ⁡ u d u = ln ⁡ t g u + sec ⁡ u a b

Assim:

∫ 1 π 3 sec ⁡ u d u = ln ⁡ t g u + sec ⁡ u 1 π 3

ln ⁡ t g u + sec ⁡ u 1 π 3 = ln ⁡ 2 + 3

Temos, portanto que:

∫ 0 e π 3 1 x cos ⁡ ln ⁡ x   d x = ln ⁡ 2 + 3

Resposta

∫ 0 e π 3 1 x cos ⁡ ln ⁡ x   d x = ln ⁡ 2 + 3