Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão.

36)

∫ ln ⁡ x x + 4 x ln 2 ⁡ ( x )   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ ln ⁡ x x + 4 x ln 2 ⁡ x   d x

Que podemos fazer:

∫ ln ⁡ x 1 + 4 ln 2 ⁡ x 1 x d x

Passo 2

Façamos:

u = ln ⁡ x

Logo:

d u d x = 1 x

Assim ficando:

∫ u 1 + 4 u 2 d u  

Agora se fizermos:

s = 4 u 2 + 1

Logo:

d s d u = 8 u

Assim ficando:

∫ 1 8 s   d s

Que podemos fazer:

1 8 ∫ 1 s   d s

Passo 3

Temso pela regra de integração que:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Assim:

1 8 ∫ 1 s   d s = 1 8 ln ⁡ s

Lembrando que:

s = 4 u 2 + 1

E que:

u = ln ⁡ x

Logo:

s = 4 ln 2 ⁡ x + 1

Temos, portanto:

∫ ln ⁡ x x + 4 x ln 2 ⁡ ( x )   d x = 1 8 ( l n ⁡ | 4 ln 2 ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ ln ⁡ x x + 4 x ln 2 ⁡ ( x )   d x = 1 8 ( l n ⁡ | 4 ln 2 ⁡ x + 1 + C