Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão.

6)

∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ z t g z   d z

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ z t g z   d z

Passo 2

Façamos:

u = t g z

Logo:

d u d z = sec 2 ⁡ z

E temos que quando:

z = π 4 → u = 1

E:

z = π 3 → 3

Assim ficando:

∫ 1 3 1 u   d u

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ a b 1 x   d x = ln ⁡ | z | a b

Assim temos:

∫ 1 3 1 u   d u = ln ⁡ u 1 3 = ln ⁡ 3 - l n ⁡ | 1 |

Sabemos que:

ln ⁡ 1 = 0

Assim:

ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 1 2

E pela propriedade dos logaritmos, é válido se fizermos:

ln ⁡ 3 = 1 2 ln ⁡ 3

Temos, portanto que:

∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ z t g z   d z = 1 2 ln ⁡ 3

Resposta

∫ π 4 π 3 sec 2 ⁡ z t g z   d z = 1 2 ln ⁡ 3