Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão.

11)

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ

Passo 2

Façamos:

u = e θ   + 1

Logo:

d u d θ = e θ

Assim ficando:

∫ c o s e c u d u

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ c o s e c x d x = ln ⁡ t g x 2 + C

Assim:

∫ c o s e c u d u = ln ⁡ t g u 2 + C

Lembrando que:

u = e θ + 1

Temos, portanto que:

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ = ln ⁡ t g e θ + 1 2 + C

Podemos fazer também:

ln ⁡ t g e θ + 1 2 = ln ⁡ s e n e θ + 1 2 - cos ⁡ e θ + 1 2

Ficando:

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ = ln ⁡ s e n e θ + 1 2 - cos ⁡ e θ + 1 2 + C

Resposta

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ = ln ⁡ t g e θ + 1 2 + C

Ou:

∫ e θ c o s e c e θ + 1 d θ = ln ⁡ s e n e θ + 1 2 - cos ⁡ e θ + 1 2 + C