Calcule as integrais dos exercícios 37-42 completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão:

41)

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x

Sabemos ao completar quadrado que:

x 2 + 2 x = x + 1 2 - 1

Assim podemos fazer:

∫ 1 x + 1 x + 1 2 - 1   d x

Passo 2

Façamos:

u = x + 1

Logo:

d u d x = 1

Ficando assim:

∫ 1 u u 2 - 1   d u

Agora façamos:

v = u 2 - 1

Assim:

d v d u = u u 2 - 1

Assim ficando:

∫ 1 v 2 + 1   d v

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1 = a r c t g x + C

Assim:

∫ 1 v 2 + 1   d v = a r c t g v + C

Lembrando que:

v = u 2 - 1

E que:

u = x + 1

Assim:

v = x + 1 2 - 1

Portanto, temo que:

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x = a r c t g x + 1 2 - 1 + C

Ou se preferir, lembrando que:

x 2 + 2 x = x + 1 2 - 1

Teremos:

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x = a r c t g x 2 + 2 x + C

Resposta

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x = a r c t g x + 1 2 - 1 + C

Ou:

∫ 1 x + 1 x 2 + 2 x   d x = a r c t g x 2 + 2 x + C