Calcule as integrais dos exercícios 37-42 completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão:

37)

∫ 1 2 8 x 2 + 2 x + 2   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 2 8 x 2 + 2 x + 2   d x

Sabemos ao completar quadrado que:

x 2 + 2 x + 2 = x - 1 2 + 1

Assim podemos fazer:

∫ 1 2 8 x - 1 2 + 1 d x

Podemos também fazer:

8 ∫ 1 2 1 x - 1 2 + 1 d x

Passo 2

Façamos:

u = x - 1

Logo:

d u d x = 1

Lembrando que quando:

x = 1 → u = 0

E:

x = 2 → u = 1

Assim ficando:

8 ∫ 0 1 1 u 2 + 1   d u

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1   d x = a r c t g x + C

Assim:

8 ∫ 0 1 1 u 2 + 1   d u = 8   a r c t g u 0 1 =

8 π 4 = 2 π  

Portanto:

∫ 1 2 8 x 2 + 2 x + 2   d x = 2 π

Resposta

∫ 1 2 8 x 2 + 2 x + 2   d x = 2 π