Calcule as integrais dos exercícios 37-42 completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma padrão:

40)

∫ 1 2 θ - θ 2   d θ

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 2 θ - θ 2   d θ

Sabemos ao completar quadrado que:

2 θ - θ 2 = - θ - 1 2 + 1

Assim ficando:

∫ 1 - θ - 1 2 + 1   d θ

Passo 2

Façamos:

u = θ - 1

Logo:

d u d θ = 1

Assim ficando:

∫ 1 - u 2 + 1   d u    

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 - x 2 + 1   d x = arcsin ⁡ x + C

Assim:

∫ 1 - u 2 + 1   d u = arcsin ⁡ u + C    

Lembrando que:

u = θ - 1

Temos, portanto que:

∫ 1 2 θ - θ 2   d θ = arcsin ⁡ θ - 1 + C

Resposta

∫ 1 2 θ - θ 2   d θ = arcsin ⁡ θ - 1 + C