Calcule as integrais dos exercícios 43-46 usando identidades trigonométricas e uma substituição paras reduzi-las à forma padrão.

43)

∫ sec ⁡ x + c o t g x 2 d x

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Seguinte... Chega junto que vamos desbravar essa questão facinho

Vamos lá!!

Temos que:

∫ sec ⁡ x + c o t g x 2 d x

Que podemos fazer:

∫ sec 2 ⁡ x + 2 c o t g x sec ⁡ x + c o t g 2 x   d x

Passo 2

Sabemos que a integral da soma é a soma das integrais, logo:

∫ sec 2 ⁡ x + 2 c o t g x sec ⁡ x + c o t g 2 x   d x =

Sabemos que:

c o t g 2 x = 1 - c o s e c 2 x

Assim ficamos com:

∫ sec 2 ⁡ x d x + ∫ 2 c o t g x sec ⁡ x   d x - ∫ - 1 d x + ∫ c o s e c 2 x d x  

Passo 3

Aqui vamos precisar voltar para a tabela de integrais que foi dada no nosso livro, e rever que:

∫ sec 2 ⁡ x d x = t g x + C

∫ 2 sec ⁡ x   c o t g x d x = 2 ln ⁡ t g x + C

∫ - 1 d x = - x   + C

∫ c o s e c 2 x = - c o t g x + C

Sabendo dessas todas, temos que:

∫ sec 2 ⁡ x d x + ∫ 2 c o t g x sec ⁡ x   d x - ∫ - 1 d x + ∫ c o s e c 2 x d x =

t g x + 2 ln ⁡ t g x - x - c o t g x + C

Resposta

∫ sec ⁡ x + c o t g x 2 d x = t g x + 2 ln ⁡ t g x - x - c o t g x + C