Calcule as integrais dos exercícios 43-46 usando identidades trigonométricas e uma substituição para reduzi-las a forma padrão.

46)

∫ s e n 3 x cos ⁡ 2 x - s e n 2 x cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ s e n 3 x cos ⁡ 2 x - s e n 2 x cos ⁡ 3 x d x

Usaremos a identidade trigonométrica de que:

s e n α cos ⁡ β = 1 2 s e n α + β + s e n α - β

Assim usemos:

α = 3 x

β = 2 x

Podendo fazer:

1 2 ∫ s e n x + s e n 5 x d x - ∫ s e n 2 x cos ⁡ 3 x d x

E de maneira similar ao:

s e n 2 x cos ⁡ 3 x

- s e n 2 x cos ⁡ 3 x = 1 2 s e n 5 x + s e n - x

Passo 2

Assim temos:

∫ 1 2 s e n 5 x + s e n ( x ) d x + ∫ 1 2   s e n 5 x + s e n - x d x

Sabendo que a soma de uma integral é a integral da soma, podemos fazer:

1 2 ∫ s e n 5 x d x + 1 2 ∫ s e n x d x + 1 2   ∫ s e n 5 x d x + ∫ 1 2 s e n - x d x

Passo 3

Assim, fazendo cada integral separadamente temos:

1 2 ∫ s e n 5 x d x = 1 2 1 5 - cos ⁡ 5 x + C

1 2 ∫ s e n x d x = 1 2 - cos ⁡ x + C

1 2 ∫ s e n 5 x d x = 1 2 1 5 - cos ⁡ 5 x + C

1 2 ∫ s e n - x d x = - 1 2 ∫ s e n x d x = - 1 2 - cos ⁡ x + C = 1 2 ( cos ⁡ x + C )

Assim, somando todas teremos que:

∫ s e n 3 x cos ⁡ 2 x - s e n 2 x cos ⁡ 3 x d x = - c o s ⁡ ( x )

Resposta

∫ s e n 3 x cos ⁡ 2 x - s e n 2 x cos ⁡ 3 x d x = - c o s ⁡ ( x )