Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão.

51)

∫ 4 t 3 - t 2 + 16 t t 2 - 4   d t

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 4 t 3 - t 2 + 16 t t 2 - 4   d t

Sabemos que:

4 t 3 - t 2 + 16 t t 2 + 4 = 4 t 2 + 4 + 4 t - 1

Podemos fazer:

∫ 4 t 2 + 4 + 4 t - 1   d t

Passo 2

Sabendo que a soma de uma integral é a soma das integrais podemos fazer:

∫ 4 t 2 + 4   d t + ∫ 4 t   d t - ∫ 1 d t

Passo 3

Fazendo cada integral separadamente, temos:

Para a primeira:

∫ 4 t 2 + 4   d t =

∫ 1 t 2 2 + 1 d t

Façamos:

u = t 2

Logo:

d u d t = 1 2

Assim ficando:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1 = tan - 1 ⁡ x + C

Assim:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u = 2 ( tan - 1 ⁡ u )   + C

Lembrando que:

u = t 2

∫ 1 t 2 2 + 1 d t = 2 tan - 1 ⁡ 1 2 + C

Para a segunda:

∫ 4 t   d t = 4 t 2 2 + C

Para a terceira:

∫ 1   d t = t

Assim somando todas, temos:

1 2 tan - 1 ⁡ 1 2 + 2 t 2 - t + C =

t 2 t - 1 + 2 tan - 1 ⁡ 1 2 + C

Portanto, concluímos que:

∫ 4 t 3 - t 2 + 16 t t 2 - 4   d t = t 2 t - 1 + 2 tan - 1 ⁡ 1 2 + C

Resposta

∫ 4 t 3 - t 2 + 16 t t 2 - 4   d t = t 2 t - 1 + 2 tan - 1 ⁡ 1 2 + C