Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão.

52)

∫ 2 θ 3 - 7 θ 2 + 7 θ 2 θ - 5   d θ

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Seguinte... Chega junto que vamos desbravar essa questão facinho

Vamos lá!!

Temos que:

∫ 2 θ 3 - 7 θ 2 + 7 θ 2 θ - 5   d θ

Sabemos que:

2 θ 3 - 7 θ 2 + 7 θ 2 θ - 5 = θ 2 - θ + 5 2 θ - 5 + 1

Assim podemos fazer:

∫ θ 2 - θ + 5 2 θ - 5 + 1 d θ

Passo 2

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

∫ θ 2   d θ - ∫ θ   d θ + 5 ∫ 1 2 θ - 5   d θ   ∫ 1   d θ

Passo 3

Fazendo cada integral separadamente, temos:

Para a primeira:

∫ θ 2   d θ = θ 3 3 + C

Para a segunda:

∫ θ   d θ = θ 2 2 + C

Para a terceira:

5 ∫ 1 2 θ + 5

Façamos:

u = 2 θ + 5

Logo:

d u d θ = 2

Assim ficando:

5 2 ∫ 1 u   d u = 5 2 ln ⁡ u

Lembrando que:

u = 2 θ + 5

5 ∫ 1 2 θ + 5 = 5 2 ln ⁡ 2 θ + 5 + C

Para a quarta:

∫ 1 d θ = θ

Assim somando todas temos:

θ 3 3 - θ 2 2 + 5 2 ln ⁡ 2 θ + 5 + θ + C

Portanto, concluímos que:

∫ 2 θ 3 - 7 θ 2 + 7 θ 2 θ - 5   d θ = θ 3 3 - θ 2 2 + θ + 5 2 ln ⁡ 2 θ + 5 + C

Resposta

∫ 2 θ 3 - 7 θ 2 + 7 θ 2 θ - 5   d θ = θ 3 3 - θ 2 2 + θ + 5 2 ln ⁡ 2 θ + 5 + C