Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão

47)

∫ x x + 1   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ x x + 1   d x

Sabemos que:

x x + 1 = 1 - 1 x + 1

Assim ficando:

∫ 1 - 1 x + 1 d x

Passo 2

Sabendo que a soma de uma integral é a soma das integrais podemos fazer:

∫ 1 d x - ∫ 1 x + 1   d x

Passo 3

Integrando cada uma separadamente, temos:

Para primeira:

∫ 1 d x = x

Para a segunda:

∫ 1 x + 1   d x

Façamos:

u = x + 1

Logo:

d u d x = 1

Assim ficando:

∫ 1 u d u =

ln ⁡ u + C  

Assim somando-as temos:

x - ln ⁡ u + C

Lembrando que:

u = x + 1

Concluímos, portanto que:

∫ x x + 1   d x = x - ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ x x + 1   d x = x - ln ⁡ x + 1 + C