Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão:

53)

∫ 1 - x 1 - x 2   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 - x 1 - x 2   d x

Passo 2

Sabemos que:

1 - x 1 - x 2 = 1 1 - x 2 - x 1 - x 2

Assim podemos fazer:

∫ 1 1 - x 2 d x - ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 3

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ x + C

E que:

∫ x 1 - x 2   d x =   - 1 - x 2 + C

Portanto, temos que:

∫ 1 - x 1 - x 2   d x = arcsin ⁡ x - - 1 - x 2 + C =

arcsin ⁡ x + 1 - x 2 + C

Resposta

∫ 1 - x 1 - x 2 = arcsin ⁡ x + 1 - x 2 + C