Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão:

55)

∫ 0 π 4 1 + s e n x cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 0 π 4 1 + s e n x cos 2 ⁡ x   d x

Sabendo que:

1 + s e n x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x + s e n x cos 2 ⁡ x

Podemos fazer:

∫ 0 π 4 1 cos 2 ⁡ x d x +   ∫ 0 π 4 s e n x cos 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Façamos para a segunda integral:

cos ⁡ x = u

Logo:

d u d x = - s e n ( x )

Lembrando que quando:

x = 0 → u = 1

E:

x = π 4 → u = 2 2

Assim ficando:

∫ 0 π 4 1 cos 2 ⁡ x d x - ∫ 1 2 2 1 u 2 d u  

Aplicando regra de integração de que:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x     s e   a > b

Teremos:

∫ 0 π 4 1 cos 2 ⁡ x d x - - ∫ 2 2 1 1 u 2 d u      

Passo 3

Fazendo cada integral sabemos que:

∫ 1 cos 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C

E que:

∫ 1 u 2 d u = - 1 u + C

Assim, temos:

∫ 0 π 4 1 cos 2 ⁡ x d x - - ∫ 2 2 1 1 u 2 d u   = tan ⁡ x 0 π 4 + - 1 u 2 2 1

Portanto, temos que:

∫ 0 π 4 1 + s e n x cos 2 ⁡ x   d x = 1 + - 1 + √ 2  

Portanto, temos que:

∫ 0 π 4 1 + s e n x cos 2 ⁡ x   d x = 2

Resposta

∫ 0 π 4 1 + s e n x cos 2 ⁡ x   d x = 2