Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão.

56)

∫ 0 1 2 2 - 8 x 1 + 4 x 2   d x

Passo 1

Faaaala, cara Tranquileba??

Seguinte... Chega junto que vamos desbravar essa questão facinho

Vamos lá!!

Temos que:

∫ 0 1 2 2 - 8 x 1 + 4 x 2   d x

Sabemos que:

2 - 8 x 1 + 4 x 2 = 2 1 + 4 x 2 - 8 x 1 + 4 x 2

Passo 2

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

∫ 2 1 + 4 x 2   d x - 8 ∫ x 1 + 4 x 2   d x

Passo 3

Fazendo cada integral separadamente, temos:

8 ∫ x 1 + 4 x 2   d x

Façamos:

u = 1 + 4 x 2

Logo:

d u d x = 8 x

Lembrando que:

x = 0 → u = 1

E:

x = 1 2 → u = 2

Assim ficando:

∫ 1 2 1 u   d u = ln ⁡ u 1 2 =

ln ⁡ 2

Para a outra:

2 ∫ 1 1 + 4 x 2   d x

Façamos:

s = 2 x

Logo:

d s d x = 2

Lembrando que quando:

x = 0 → u = 0

E:

x = 1 2 → u = 1

Assim ficando:

∫ 0 1 1 s 2 + 1   d s

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1 d x = tan - 1 ⁡ x + C

Assim:

∫ 0 1 1 s 2 + 1   d s = tan - 1 ⁡ s 0 1 =

π 4

Assim somando-as temos:

π 4 - ln ⁡ 2  

Portanto, concluímos que:

∫ 0 1 2 2 - 8 x 1 + 4 x 2   d x = π 4 - ln ⁡ 2

Resposta

∫ 0 1 2 2 - 8 x 1 + 4 x 2   d x = π 4 - ln ⁡ 2