Calcule as integrais dos exercícios 57-62 multiplicando por uma forma de 1 e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma padrão

62)

∫ 1 1 - c o s e c x d x  

Passo 1

Faaaaala cara, tranquileba?

Seguinte... Chega junto que vamos fazer juntos e verá como é simples e fácil de ser feito, vamos lá!

Temos que:

∫ 1 1 - c o s e c x d x  

Passo 2

Nessa parte vai precisar prestar muita atenção e, se necessário, faça e refaça as contas. Dito isso, meu nobre, vamos lá.

Façamos:

u = tan ⁡ x 2

Logo:

d u d x = 1 2 sec 2 ⁡ x 2

E usando essas transformações, temos que:

sin ⁡ x = 2 u u 2 + 1  

cos ⁡ x = 1 - u 2 u 2 + 1

d x = 2 u 2 + 1

Assim ficando:

∫ 2 u 2 + 1 1 - u 2 + 1 2 u d u

Simplifiquemos:

2 u 2 + 1 1 - u 2 + 1 2 u = - 4 u u 4 - 2 u 3 + 2 u 2 - 2 u + 1

Assim podemos fazer:

- ∫ 4 u u 4 - 2 u 3 + 2 u 2 - 2 u + 1   d u =

- 4 ∫ u u 4 - 2 u 3 + 2 u 2 - 2 u + 1   d u

Sabemos que:

u 4 - 2 u 3 + 2 u 2 - 2 u + 1 = u - 1 2 u 2 + 1

Assim:

- 4 ∫ u u - 1 2 u 2 + 1   d u

Apliquemos as frações parciais:

- 4 ∫ 1 2 u - 1 2 -   1 2 u 2 + 1   d u

Sabendo que a integral da soma é a soma das integrais, podemos fazer:

- 2 ∫ 1 u - 1 2     d u + 2 ∫ 1 u 2 + 1   d u

Passo 3

Fazendo cada integral separadamente, temos:

Para a primeira:

- 2 ∫ 1 u - 1 2     d u

Façamos:

s = u - 1

Logo:

d s d u = 1

Assim ficando:

- 2 ∫ 1 s 2 d s = - - 2 s + C

Lembrando que:

s = u - 1

- 2 ∫ 1 u - 1 2     d u = 2 1 u - 1 + C

Para a segunda:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u

Temos pela regra de integração que:

∫ 1 x 2 + 1   d x = tan - 1 ⁡ x + C

Assim:

2 ∫ 1 u 2 + 1   d u = 2 tan - 1 ⁡ u + C

Assim, somando ambas temos:

2 1 u - 1 + 2 tan - 1 ⁡ u + C

Lembremos lá do começo que:

u = tan ⁡ x 2

Deste modo concluímos que:

∫ 1 1 - c o s e c x d x = 2 1 tan ⁡ x 2 - 1 + 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + C  

Resposta

∫ 1 1 - c o s e c x d x = 2 1 tan ⁡ x 2 - 1 + 2 tan - 1 ⁡ tan ⁡ x 2 + C